Cara Mudah Menentukan Tanda pada Garis Bilangan dalam Menyelesaikan Pertidaksamaan

Dalam menyelesaikan suatu pertidaksamaan, membuat garis bilangan adalah salah satu tahapan yang perlu kita lakukan, terutama jika pertidaksamaan tersebut memiliki beberapa titik kritis atau pembuat nol seperti pertidaksamaan polynomial atau pertidaksamaan rasional . Secara umum, berikut inilah tahapan-tahapan dalam menyelesaikan pertidaksamaan:

Jadikan ruas kanan pertidaksamaan bernilai $0$
Faktorkan / tentukan titik kritis (pembuat nol)
Buat garis bilangan
Tentukan tanda $+$ atau $-$ setiap interval pada garis bilangan
Tentukan himpunan penyelesaian.

Untuk pertidaksamaan linear dan pertidaksamaan kuadrat, masih dapat dengan mudah kita selesaikan bahkan tanpa membuat garis bilangan. Namun untuk pertidaksamaan yang memuat beberpa faktor atau memiliki banyak titik kritis, membuat garis bilangan menjadi hal yang perlu untuk kita lakukan dalam menentukan himpunan penyelesaian, seperti pertidaksamaan berikut ini:

$\displaystyle x^2 \left(2x-3\right)^3 \left(x-3\right)^2 \left(2x-7\right)\lt 0$

Pertidaksamaan di atas, memiliki $4$ titik kritis, yaitu $x=0$, $x=\frac{3}{2}$, $x=3$ dan $x=\frac{7}{2}$, sehingga jika kita buat garis bilangannya sebagai berikut:

Seperti kita lihat pada garis bilangan di atas, $4$ titik kritis menyebabkan terbentuknya lima buah interval (daerah) yang perlu kita uji tanda pada masing-masing interval apakah $+$ atau $-$. Jika kita lakukan pengujian dengan mengambil sembarang titik uji pada masing-masing interval, misalnya pada interval I $(x\lt 0)$ kita ambil $x=-1$ sebagai titik uji, pada interval II $(0\lt x\lt \frac{3}{2})$ kita ambil $x=1$ sebagai titik uji, bagaimana dengan interval IV $\left( 3\lt x\lt \frac{7}{2}\right)$? tentunya kita tidak bisa mengambil $x$ bilangan bulat sebagai titik uji, tentu ini akan cukup "merepotkan". Berikut ini tips cara mudah menentukan tanda $+$ atau $-$ pada garis bilangan tanpa menggunakan titik uji.

Tips Marthen Kanginan

Bagi yang berkecimpung di "dunia" matematika dan fisika pasti sudah tidak asing dengan nama Marthen Kanginan, sudah banyak buku karya beliau yang beredar dan memberikan kontribusi yang sangat besar untuk pendidikan di negeri ini, sama halnya seperti penulis besar lainnya seperti Pak Sukino (salah satu ide kreatif pak Sukino adalah Horner-Kino ), Pak Suwah Sembiring, Pak Husein Tampomas dan penulis lainnya yang sudah memberikan ide dan karya luar biasa untuk kita manfaatkan, semoga kesehatan selalu menyertai beliau semua (saya rekomendasikan anda membeli buku karya-karya beliau, InsyaAlloh sangat bermanfaat).

Salah satu tips yang di berikan pak Marthen Kanginan adalah bagaimana cara mudah menentukan tanda $+$ atau $-$ pada garis bilangan dalam menyelesaiakan pertidaksamaan tanpa menggunkan titik uji. Berikut ini langkah-langkah tips Marthen Kanginan :

Tips Marthen Kanginan

Cara mudah menentukan tanda pada garis bilangan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Tentukan tanda pada daerah paling kanan hanya dengan mengalikan koefisien $x$ dari tiap-tiap fakor

Untuk daerah (interval lainnya), gunakan aturan sebagai berikut: "ketika melewati titik kritis, tanda bergantian kecuali ketika melewati titik kritis yang berasal dari $x^2$ atau $(ax+b)^2$ atau $(ax+b)^n$ dengan $n$ genap maka tanda tetap.

Sebagai contoh, kita akan menyelesaikan pertidaksamaan yang tadi, sebagai berikut:

$\displaystyle x^2 \left(2x-3\right)^3 \left(x-3\right)^2 \left(2x-7\right)\lt 0$

Dari pertidaksamaan di atas, kita peroleh titik kritis $x=0$, $x=\frac{3}{2}$, $x=3$ dan $x=\frac{7}{2}$, maka garis bilangannya sebagai berikut:

Langkah pertama dari tips Marthen Kanginan adalah kita tentukan tanda pada interval paling kanan, dalam soal ini berarti interval V. Tanda pada interval paling kanan ditentukan oleh koefisien dari masing-masing variable $x$ setiap faktor. Maka kita peroleh:

$(x^2)(2x)(x)(2x)=$ Positif

Maka daerah paling kanan bernilai positif $(+)$

Berikutnya, kita tentukan tanda pada interval lainnya dengan aturan jika melewati titik kritis yang berasal dari faktor berpangkat genap, maka tanda tetap.

Pada pertidaksamaan di atas,

$\frac{7}{2}$ berasal dari $(2x-7)$ (pangkat ganjil) maka ketika melewati $\frac{7}{2}$ tanda berubah
$3$ berasal dari $(x-3)^2$ (pangkat genap) maka ketika melewati $3$ tanda tetap
$\frac{3}{2}$ berasal dari $(2x-3)^3$ (pangkat ganjil) maka ketika melewati $\frac{3}{2}$ tanda berubah
$0$ berasal dari $x^2$ (pangkat genap), maka ketika melewati $0$ tanda tetap

untuk lebih jelasnya perhatikan garis bilangan berikut

Maka penyelesaian pertidaksamaan $x^2(2x-3)^3(x-3)^2(2x-7)\lt 0 $ adalah daerah dengan tanda negatif karena pertidaksamaan memiliki tanda $\lt 0$ (negatif), maka penyelesaiannya seperti ditunjukkan oleh gambar berikut:

Yaitu: $\displaystyle\frac{3}{2}\lt x\lt 3$ atau $\displaystyle 3\lt x\lt\frac{7}{2}$

Untuk lebih jelas, perhatikan beberapa contoh lain berikut ini:

Contoh 1

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan $(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)\leq 0$

Jawab:

Titik kritis pertidaksamaan di atas adalah $x=1$, $x=2$, $x=3$, dan $x=4$. Interval paling kanan positif, titik kritis yang berasal dari faktor dengan pangkat genap adalah $x=2$, dengan demikian tanda tidak berubah ketika melewati $x=2$ maka garis bilangannya adalah:

Bulatan pada garis bilangan "penuh/berisi" karena, tanda pada pertidaksamaan $\leq 0$ memuat tanda sama dengan, artinya titik kritis termasuk penyelesaian. Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan $(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)\leq 0$ adalah $x\leq 1$ atau $3\leq x\leq 4$

Contoh 2

Tentukan penyelesaian dari $\displaystyle\frac{(x-1)(x-2)^3}{(x-3)^2(x-4)}\geq 0$

Jawab:

Titik kritis pertidaksamaan di atas adalah $x=1$, $x=2$, $x=3$ dan $x=4$. Tanda pada interval paling kanan positif, karena koefisien semua variabel $x$ positif. Titik kritis yang berasal dari faktor pangkat genap adalah $x=3$, dengan demikian tanda tidak berubah ketika melewati $x=3$.

Meskipun tanda pada pertidaksamaan memuat sama dengan $(\geq 0)$, namun untuk titik kritis yang berasal dari penyebut diberi "bulatan kosong", artinya titik kritis tersebut tidak termasuk penyelesaian.

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan $\displaystyle\frac{(x-1)(x-2)^3}{(x-3)^2(x-4)}\geq 0$ adalah $1\leq x\leq 2$ atau $x\gt 4$

Contoh 3

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan $x^2(2x^2-x)\lt x^2(2x+5)$

Jawab:

\begin{align*}x^2(2x^2-x)-x^2(2x+5)&\lt 0\\ x^2((2x^2-x)-(2x+5))&\lt 0\\x^2(2x^2-3x-5 )&\lt 0\\x^2(2x-5)(x+1)&\lt 0\end{align*}

Titik kritis $x=0$, $x=\frac{5}{2}$ dan $x=-1$. Tanda pada interval paling kanan positif. Titik kritis yang berasal dari faktor dengan pangkat genap adalah $x=0$, maka ketika melewati $x=0$ tanda tidak berubah.

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan $x^2(2x^2-x)\lt x^2(2x+5)$ adalah $-1\lt x\lt 0$ atau $0\lt x\lt \frac{5}{2}$

Jika anda masih belum paham, sebaiknya lihat video pembahasannya disini

Demikianlah cara mudah menentukan tanda $+$ atau $-$ garis bilangan dengan tips Marthen Kanginan. Semoga bermanfaat.

Untuk latihan pertidaksamaan secara online bisa anda coba soal berikut ini