Contoh Soal Pembuktian Induksi Matematika Habis Dibagi

Baca Juga

Salah satu bentuk pembuktian kebenaran dalam matematika yakni dengan induksi atau dikenal dengan induksi matematika. Dalam pembuktian ini akan dibuktikan  untuk kasu n = 1 (atau sembaran bilangan), n= k yang diasumsikan benar dan n= k+1 yang harus terbukti benar jikalau pernyataan tersebut bernilai benar.

Untuk ketika ini akan dibahas pembuktian suatu persamaan yang habis dibagi dengan menggunakan induksi matematika. Contoh Soal dan Pembahasan habis di bagi dengan menggunakan induksi matematika ini ada dua. Semoga dengan acuan soal berikut mampu membantu pembelajaran matematika.

Contoh Soal dan Pembahasan Habis Dibagi dengan Induksi Matematika

Soal : Buktikan bahwasanya 7ⁿ-2ⁿ habis dibagi 5, n = 1,2,3 ...

Pembuktian :

1) Akan dibuktikan untuk n=1 terlebih dahulu. Jika disubstitusikan n=1 pada persamaan 7ⁿ-2ⁿ akan diperoleh 7¹-2¹ ,hasilnya = 5. Kita tahu 5 habis dibagi 5. Artinya untuk n= 1, benar.

2) Berikutnya untuk n=k, di asumsikan benar. Jadi, 7^k-2^k habis dibagi 5 atau supaya lebih simpel mampu ditulis menjadi 7ⁿ-2ⁿ = 5a, a Є bilangan asli. Untuk menunjukan pernyataan tersebut benar, maka akan dibuktikan untuk n=k+1.

3) Sekarang kita lihat untuk n= k+1 :
7ⁿ-2ⁿ = 7^k+1-2^k+1 = 7.7^k-2.2^k . Pada penggalan ini gunakan sifat akar, dimana x^n.x^m =x^n+m
Perhatikan, koefesien tebesar yakni 7. Jadi semua dijadika berkoefisien 7.
7.7^k-2^k -5.2^k+5.2^k = 7.7^k-7.2^k -5^k tujuannya supaya di mampu sebuah faktor berupa pernyataan ke (2). Dengan melakukan ini,bisa didapat,
7(7^k-2^k )-5.2^k = 7.5a -5.2^k  = 5.(7a-2^k) , lantaran sudah terbentu 5 x ... maka 7ⁿ-2ⁿ habis dibagi 5. Terbukti.

Contoh Soal ke dua

Buktikan 3ⁿ-+7ⁿ habis dibagi 10, untuk  n ≥1,2,3 , n Є ganjil.

Pembahasan : Untuk soal ini ada sedikit ciri khas. Karena n yakni bilangan ganjil, sementara antara satu bilangan ganjil dengan bilangan ganjil berikutnya berjarak dua ; maka dalam pembuktian digunakan : 1) n=1, 2 ) n= k dan 3) n= k+2. 

1) n =1, 3ⁿ+7ⁿ = 3+7 = 10. Dan 10 habis dibagi 10.
2) n = k, 3^k+7^k habis dibagi 10 = 10 a. Pernyataan ini diasumsikan benr, maka akan dibuktikan pada urutan berikutnya ialah n= k+2.
3) n = k+2, 3ⁿ+7ⁿ =3^k+2-+7^k+2 = 9.3^k+49.7^k angka koefisien terbesar yakni 49, maka untuk 3^k, juga harus berkoefeisen 49. Jadi persamaan mampu dbentuk menjadi,
9.3^k+49.7^k = 9.3ⁿ-+49.7ⁿ +403^k - 403^k = 493^k  +49.7ⁿ - 403^k = 49.10.a - 403^k = 10. (49a - 4.3^k ) , habis dibagi 10. Terbukti. Terkait Contoh Soal dan Pembuktian Deret dengan Induksi Matematika.

Sumber http://www.marthamatika.com/