Pertidaksamaan rasional adalah pertidaksamaan yang berbentuk pecahan dengan pembilang dan penyebut memuat variabel atau hanya penyebutnya saja yang memuat variabel. Berikut ini beberapa contoh pertidaksamaan rasional.
$\displaystyle\frac{2x-1}{x+3}\geq 0$
$\displaystyle\frac{x^2-1}{x+7}\leq 5$
$\displaystyle\frac{5}{2x-1}\gt \frac{x+1}{x-5}$
Di atas, ada 3 contoh pertidaksamaan rasional atau pertidaksamaan pecahan dengan bentuk yang berbeda. Namun, bagaimanapun bentuknya, pertidaksamaan rasional selalu dapat diubah sehingga menjadi salah satu dari bentuk umum pertidaksamaan rasional sebagai berikut:
$\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\lt 0$ atau $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\leq 0$
$\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\gt 0$ atau $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\geq 0$
Dengan $f(x)$ sebagai fungsi pembilang dan $g(x)$ sebagai fungsi penyebut dan $g(x)\ne 0$.
Bagaimana Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional?
Berikut ini beberapa langkah penyelesaian pertidaksamaan rasional atau pertidaksamaan pecahan:
Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan rasional:
Ubah ruas kanan pertidaksamaan menjadi nol
Jika fungsi pembilang atau fungsi penyebut berupa polinomial derajat lebih dari 1, maka faktorkan
Cari titik kritis atau pembuat nol fungsi pembilang dan fungsi penyebut
Gambar pada garis bilangan
Lakukan pengujian daerah yang dibatasi titik kritis pada garis bilangan
Tentukan himpunan penyelesaian
Ubah ruas kanan pertidaksamaan menjadi nol
Jika fungsi pembilang atau fungsi penyebut berupa polinomial derajat lebih dari 1, maka faktorkan
Cari titik kritis atau pembuat nol fungsi pembilang dan fungsi penyebut
Gambar pada garis bilangan
Lakukan pengujian daerah yang dibatasi titik kritis pada garis bilangan
Tentukan himpunan penyelesaian
Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh bernilai nol, dengan demikian saat menggambar garis bilangan, titik kritis yang diperoleh dari penyebut selalu digambarkan dengan bulatan kosong, artinya titik tersebut tidak termasuk penyelesaian meskipun tanda pertidaksamaan pada soal memuat tanda sama dengan ($\leq$ atau $\geq$).
Contoh Soal dan Penyelesaian
Contoh Soal dan Penyelesaian
Untuk lebih memahami cara menyelesaiakan pertidaksamaan rasional, perhatikan contoh soal dan pembahasan berikut ini.
Soal pertama yang akan kita selesaiakan adalah pertidaksamaan rasional berikut:
$\displaystyle\frac{5x-20}{x-5}\leq 3$
Langkah pertama, kita perlu menjadikan ruas kanan pada pertidaksamaan menjadi nol, yaitu dengan dengan mengurangi kedua ruas dengan $3$, kemudian sederhanakan bentuk pada ruas kiri dengan menyamakan penyebutnya
$\begin{align*}\frac{5x-20}{x-5}-3&\leq 3-3\\ \frac{5x-20}{x-5}-3&\leq 0 \\ \frac{5x-20}{x-5}-\frac{3(x-5)}{x-5}&\leq 0\\ \frac{5x-20-3x+15}{x-5}&\leq 0\\ \frac{2x-5}{x-5}&\leq 0\end{align*}$
Langkah kedua, kita tentukan titik kritis, yaitu pembuat nol pada pembilang dan penyebut.
Pembuat nol pada pembilang adalah $\displaystyle 2x-5=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}$
Pembuat nol pada penyebut adalah $\displaystyle x-5=0\Leftrightarrow x=5$
Langkah ketiga, kita buat garis bilangan yang memuat beberapa daerah yang dibatasi oleh titik kritis yang kita peroleh dari langkah kedua, dan perlu diingat pada titik kritis yang diperoleh dari penyebut digambarkan dengan tanda bulatan kosong meskipun pertidaksamaan yang sedang kita selesaikan $\leq$.
Langkah keempat, tentukan tanda masing-masing daerah pada garis bilangan dengan melakukan pengujian.
Pada garis bilangan di atas, kita peroleh tiga daerah, yaitu $x\leq\frac{5}{2}$ kita sebut saja "daerah kiri", daerah $\frac{5}{2}\leq x \lt 5$ kita sebut sebagai "daerah tengah" dan daerah $x\gt 5$ kita sebut sebagai "daerah kanan".
Pada masing-masing daerah tersebut kita ambil sembarang angka penguji, misal untuk daerah kiri $(x\leq \frac{5}{2})$ saya ambil $x=0$, untuk daerah tengah $(\frac{5}{2}\leq x\lt 5)$ saya ambil $x=3$, dan untuk daerah kanan $(x\gt 5)$ saya ambil $x=6$ sebagai penguji. Dengan mensubstitusi titik-titik penguji tersebut ke fungsi rasional $\displaystyle \frac{2x-5}{x-5}$ maka kita peroleh:
Titik Uji | $2x-5$ | $x-5$ | $\displaystyle\frac{2x-5}{x-5}$ |
|---|---|---|---|
$x=0$ | $(-)$ | $(-)$ | $\frac{(-)}{(-)}=(+)$ |
$x=3$ | $(+)$ | $(-)$ | $\frac{(+)}{(-)}=(-)$ |
$x=6$ | $(+)$ | $(+)$ | $\frac{(+)}{(+)}=(+)$ |
Langkah kelima, kita tentukan himpunan penyelesaian dengan kembali memperhatikan tanda pertidaksamaan dan tanda pada garis bilangan.
Pertidaksamaan $\displaystyle\frac{2x-5}{x-5}\leq 0$ memiliki tanda pertidaksamaan $\leq$, dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah yang bertanda negatif atau atau nol $(\leq 0)$, yaitu daerah tengah pada garis bilangan tadi.
maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\displaystyle \frac{5x-20}{x-5}\leq 3$ adalah $\left\{x | \frac{5}{2}\leq x \lt 5, x\in R\right\}$
Pertidaksamaan $\displaystyle\frac{2x-5}{x-5}\leq 0$ memiliki tanda pertidaksamaan $\leq$, dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah yang bertanda negatif atau atau nol $(\leq 0)$, yaitu daerah tengah pada garis bilangan tadi.
Masalah Pertidaksamaan Rasional Yang Memuat Faktor Persekutuan Pembilang dan Penyebut
Berikutnya, kita akan mencoba menyelesaiak pertidaksamaan berikut ini:
$$\frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}\lt 1$$
Dengan mengurangi kedua ruas dengan 1 kita peroleh:
$\begin{align*}\frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}-1&\lt 1-1\\ \frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}-1&\lt 0\\ \frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}-\frac{x^2-3x-10}{x^2-3x-10}&\lt 0\\ \frac{x^3-3x^2-8x-10-x^2+3x+10}{x^2-3x-10}&\lt 0\\ \frac{x^3-4x^2-5x}{x^2-3x-10}&\lt 0\end{align*}$
Berikutnya, kita faktorkan pembilang dan penyebut sehingga kita peroleh
$\displaystyle\frac{x(x+1)(x-5)}{(x+2)(x-5)}\lt 0$
Seperti yang kita lihat, terdapat faktor persekutuan pada pembilang dan penyebut, yaitu $(x-5)$, pada pertidaksamaan rasional faktor persekutuan tidak boleh kita sederhanakan atau bahkan kita hilangkan, hal yang umum dilakukan jika terdapat faktor persekutuan misalnya $(ax+b)$ maka kita kalikan dengan $(ax+b)^2$ yang sudah jelas positif dan tidak merubah tanda pertidaksamaan. Jadi, untuk pertidaksamaan di atas, kedua ruas kita kali dengan $(x-5)^2$ dengan $x\ne 5$ sehingga kita peroleh:
$\displaystyle\frac{x(x+1)(x-5)^2}{x+2}\lt 0$
titik kritis (pembuat nol) dari pembilang dan penyebut yang kita peroleh adalah: $x=0$, $x=-1$, $x=5$ dan $x=-2$, maka bisa kita buat garis bilangan sebagai berikut:
Dengan melakukan pengujian masing-masing daerah, kita peroleh tanda sebagai berikut:
tanda yang diminta pada pertidaksamaan terakhir adalah $\lt 0$ atau negatif, dipenuhi oleh daerah yang diarsir berikut:
maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\displaystyle\frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}\lt 1$ adalah $\{x| x\lt -2\text{ atau }-1\lt x \lt 0, x\in R\}$
Masalah Pertidaksamaan Rasional yang Memuat Fungsi Definit
Berikutnya, kita akan mencoba menyelesaiak pertidaksamaan berikut ini:
$$\frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}\lt 1$$
Dengan mengurangi kedua ruas dengan 1 kita peroleh:
$\begin{align*}\frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}-1&\lt 1-1\\ \frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}-1&\lt 0\\ \frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}-\frac{x^2-3x-10}{x^2-3x-10}&\lt 0\\ \frac{x^3-3x^2-8x-10-x^2+3x+10}{x^2-3x-10}&\lt 0\\ \frac{x^3-4x^2-5x}{x^2-3x-10}&\lt 0\end{align*}$
Berikutnya, kita faktorkan pembilang dan penyebut sehingga kita peroleh
$\displaystyle\frac{x(x+1)(x-5)}{(x+2)(x-5)}\lt 0$
Seperti yang kita lihat, terdapat faktor persekutuan pada pembilang dan penyebut, yaitu $(x-5)$, pada pertidaksamaan rasional faktor persekutuan tidak boleh kita sederhanakan atau bahkan kita hilangkan, hal yang umum dilakukan jika terdapat faktor persekutuan misalnya $(ax+b)$ maka kita kalikan dengan $(ax+b)^2$ yang sudah jelas positif dan tidak merubah tanda pertidaksamaan. Jadi, untuk pertidaksamaan di atas, kedua ruas kita kali dengan $(x-5)^2$ dengan $x\ne 5$ sehingga kita peroleh:
$\displaystyle\frac{x(x+1)(x-5)^2}{x+2}\lt 0$
titik kritis (pembuat nol) dari pembilang dan penyebut yang kita peroleh adalah: $x=0$, $x=-1$, $x=5$ dan $x=-2$, maka bisa kita buat garis bilangan sebagai berikut:
Dengan melakukan pengujian masing-masing daerah, kita peroleh tanda sebagai berikut:
maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\displaystyle\frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}\lt 1$ adalah $\{x| x\lt -2\text{ atau }-1\lt x \lt 0, x\in R\}$
Masalah Pertidaksamaan Rasional yang Memuat Fungsi Definit
Secara bahasa, definit artinya pasti. Dalam matematika terutama yang berkaitan dengan fungsi kuadrat dikenal dua definit yaitu definit positif dan definit negatif. Definit positif artinya fungsi tersebut selalu menghasilkan nilai positif untuk setiap $x$ anggota bilangan real, dan definit negatif artinya fungsi selalu menghasilkan nilai negatif untuk setiap $x$ anggota bilangan real.
Fungsi kuadrat $y=ax^2+bx+c$ dikatakan definit positif jika $a\gt 0$ dan $b^2-4ac\lt 0$, maka untuk berapapun nilai $x$ anggota bilangan real, nilai $y$ selalu positif.
Fungsi kuadrat $y=ax^2+bx+c$ dikatakan definit negatif jika $a\lt 0$ dan $b^2-4ac\lt 0$, maka untuk berapapun nilai $x$ anggota bilangan real, nilai $y$ selalu negatif.
Perhatikan contoh pertidaksamaan rasional berikut:
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\displaystyle\frac{(x-1)(2x+4)}{(x^2+4)}\lt 1$ adalah ....
Penyelesaian:
$\begin{align*}\frac{(x-1)(2x+4)}{(x^2+4)}-1&\lt 0 \\ \frac{(2x^2+2x-4)-(x^2+4)}{(x^2+4)}&\lt 0\\ \frac{x^2+2x-8}{x^2+4}&\lt 0\end{align*}$
Karena $x^2+4$ merupakan definit positif, maka kita hanya perlu memperhatikan pembilangnya saja.
$\begin{align*}x^2+2x-8&\lt 0\\(x+4)(x-2)&\lt 0\end{align*}$
Titik kritisnya adalah $x=-4$ dan $x=2$, maka garis bilangannya sebagai berikut:
Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\displaystyle\frac{(x-1)(2x+4)}{(x^2+4)}\lt 1$ adalah $\{x | -4\lt x\lt 2\}$
Jika anda sudah paham, silakan coba soal online pertidaksamaan rasional berikut sebagai bahan latihan. Semoga bermanfaat, demikianlah materi pertidaksamaan rasional kelas X matematika wajib.
