Pada dasarnya di sini kita akan mencari luas segiempat pada sebuah lingkatan dimana setiap titik sudut segiempat tersebut menyentuh perimeter lingkaran. Gambaran awalnya mampu anda perhatikan gambar di bawah ini.
Misalkan anda akan mencari luas segiempat yang berwarna biru. Untuk mencari luas tersebut dibutuhkan pemahana perihal Dalil Sinus, Dalil Cosinus dan Nilai Trigonometri sudut berelasi. Semua topik ini mampu anda lihat di daftar isi blog ini pada topik trigonometri.
Rumus untuk mencari Luas segiempat tali busur ini adalah:
Misalkan terdapat segiempat ABCD dengan AB=a, BC=b, CD=c dan DA=d. Maka luas segiempat tersebut:
$L= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$
dimana $ s = \frac{a+b+c+d}{2}$
Pembuktian Rumus Luas Segiempat Tali Busur pada Lingkaran
Berdasarkan gambar di atas. Anda harus ingat sesungguhnya jumlah sudut A+C dan B+D = 180 derajat. Sudut tersebut masing masing mampu ditulis,
$ B+D = 180^ \circ \\ D = 180^ \circ - B \\ \sin D = \sin (180^ \circ - B) \\ \sin D= \sin B \\ \text {untuk cosinus} \\ \cos D = \sin (180^ \circ - B) \\ \cos D=- \cos B$
Perhatikan segitiga BAC dan DAC. Dengan menggunakan aturan/dalil Cosinus mampu ditulis.
$ (i) \, AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos B $
$ (ii) \, AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd \cos D \rightarrow AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd (-\cos B) $
$ (ii) \, AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd \cos D \rightarrow AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd (-\cos B) $
$ \begin{align} AC^2 & = AC^2 \\ a^2 + b^2 - 2ab \cos B & = c^2 + d^2 - 2cd (-\cos B) \\ a^2 + b^2 - 2ab \cos B & = c^2 + d^2 + 2cd \cos B \\ \cos B & = \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \end{align} $
Sekedar mengingatkan:
Pemfaktoran Aljabar: $ X^2 - Y^2 = (X+Y)(X-Y) $
Identitas trigonometri: $ \sin ^2 B + \cos ^2 B = 1 $
Jika dimisalkan: $ s = \frac{a+b+c+d}{2} $
$ \begin{align} \sin ^2 B & = 1 - \cos ^2 B \\ \sin ^2 B & = (1 + \cos B )(1 - \cos B ) \\ & = \left(1 + \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \right)\left(1 - \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \right) \\ & = \frac{a^2 + b^2 + 2ab - (c^2 + d^2 - 2cd)}{2(ab+cd)} . \frac{c^2 + d^2 + 2cd - (a^2 + b^2 - 2ab)}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{[(a+b)^2 - (c-d)^2]}{2(ab+cd)} . \frac{[(c+d)^2 - (a-b)^2]}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{(a+b+c-d)(a+b-c+d)}{2(ab+cd)} . \frac{(c+d+a-b)(c+d-a+b)}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{4(s-d)(s-c)}{2(ab+cd)} . \frac{4(s-b)(s-a)}{2(ab+cd)} \\ \sin ^2 B & = \frac{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ab+cd)^2} \\ \sin B & = \sqrt{\frac{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ab+cd)^2} } \\ \sin B & = \frac{2}{(ab+cd)} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align} $
Perhatikan kembali segitiga BAC dan DAC:
$ L \triangle_{BAC } = \frac{1}{2}ab\sin B $
$L \triangle _{DAC } = \frac{1}{2}cd\sin D = \frac{1}{2}cd\sin B $
Luas segiempat ABCD:
$ \begin{align} \text{Luas ABCD } & = \text{Luas BAC } + \text{Luas DAC } \\ & = \frac{1}{2}ab\sin B + \frac{1}{2}cd\sin B \\ & = \frac{1}{2}(ab+cd)\sin B \\ & = \frac{1}{2}(ab+cd). \frac{2}{(ab+cd)} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ & = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align} $
Terbukti Bukan?
Terakhir, akan dilihat contoh soal dan pembahasan mencari luas segiempat tali busur ini.
Jika panjang AB= 4, BC = 1, CD = 3 dan AD = 2. Hitunglah luas bangun yang diarsir di atas.
Pembahasan:
Diketahui $ a = 4, \, b = 1, \, c = 3, \, d = 2 $
Jawab:$ s = \frac{a+b+c+d}{2} = \frac{4+1+3+2}{2} = 5 $
$ \begin{align} L & = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ & = \sqrt{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)} \\ & = \sqrt{4.3.2.1} \\ & = 2\sqrt{6} \end{align} $
Luas ABCD= $ 2 \sqrt{6} $ . Sumber http://www.marthamatika.com/
