Pembuktian dalam matematika dikenal salah satunya ialah dengan induksi. Berbagai pernyataan dalam matematika sanggup dibuktikan dengan menggunakan metode ini. Berikut akan diberikan contoh soal dan pembahasan induksi matematika dala pembuktaian deret bilangan.
Untuk menunjukan dengan induksi digunakan 3 langkah. Langkah dalam pembuktian induksi ini ialah : 1) buktikan untuk n=1 benar, 2) untuk n=k diasumsikan benar dan dibuktikan 3) n= k+1 juga benar.
Contoh Soal 1 Pembuktian Deret dengan Induksi Matematika
Buktikan 1+3+5+7+9... +(2n-1) = n2, n ∈ Bilangan Asli.
Bukti :
1) n=1, (2.1-1) = 12, 1=1 (benar).
2) n= k, 1+3+5+7+9+...+(2k-1)=k2diasumsikan benar.
3) n=k+1, 1+3+5+7+9+...+(2k-1)+ (2(k+1)-1) = (k+1)2
Dari pernyataan di atas, coba perhatikan penggalan yang diwarnai merah ini, 1+3+5+7+9+...+(2k-1)+ (2(k+1)-1) = (k+1)2 , Nilainya sama dengan penggalan warna biru pada pernyataan ke dua. Oleh lantaran ialah itu kita ganti penggalan warna merah dengan n2 , sehingga diperoleh:
k2 +(2(k+1) -1) = (k+1)2
k2 +2k+2-1 = (k+1)2
k2 +2k+1 = (k+1)2
(k+1)(k+1)= (k+1)2
(k+1)2 = (k+1)2 (Terbukti)
Bukti :
1) n = 1, maka diperoleh 12 = 1/6 1 (1+1) (2.1+1). 1=1 (terbukti).
2) n = k, 12+ 22+ 32+42...+k2 = 1/6 k (k+1) (2k+1), diasumsikan benar.
Bukti :
1) n=1, (2.1-1) = 12, 1=1 (benar).
2) n= k, 1+3+5+7+9+...+(2k-1)=k2diasumsikan benar.
3) n=k+1, 1+3+5+7+9+...+(2k-1)+ (2(k+1)-1) = (k+1)2
Dari pernyataan di atas, coba perhatikan penggalan yang diwarnai merah ini, 1+3+5+7+9+...+(2k-1)+ (2(k+1)-1) = (k+1)2 , Nilainya sama dengan penggalan warna biru pada pernyataan ke dua. Oleh lantaran ialah itu kita ganti penggalan warna merah dengan n2 , sehingga diperoleh:
k2 +(2(k+1) -1) = (k+1)2
k2 +2k+2-1 = (k+1)2
k2 +2k+1 = (k+1)2
(k+1)(k+1)= (k+1)2
(k+1)2 = (k+1)2 (Terbukti)
Contoh Soal 2, Pembuktian Deret dengan Induksi Matematika
Buktikan : 12+ 22+ 32+42...+n2 = 1/6 n (n+1) (2n+1), n ∈ bilangan asli.
Bukti :
1) n = 1, maka diperoleh 12 = 1/6 1 (1+1) (2.1+1). 1=1 (terbukti).
2) n = k, 12+ 22+ 32+42...+k2 = 1/6 k (k+1) (2k+1), diasumsikan benar.
3) n = k+1, 12+ 22+ 32+42...+k2+(k+1)2 = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1).
12+ 22+ 32+42...+k2+(k+1)2 = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)
1/6 k (k+1) (2k+1)+(k+1)2 = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ...faktorkan (k+1) di kiri.
12+ 22+ 32+42...+k2+(k+1)2 = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)
1/6 k (k+1) (2k+1)+(k+1)2 = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ...faktorkan (k+1) di kiri.
(k+1) [ 1/6 k (2k+1) + (k+1) ] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ... samakan penyebut di kiri.
(k+1) [ 1/6 k (2k+1) + 6/6(k+1) ] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)... faktorkan 1/6 dikiri.
1/6 (k+1) [ k (2k+1) + 6(k+1) ] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ... selesaikan yang didalam kurung siku.
1/6 (k+1) [ 2k2+7k+6] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)... faktorkan yang di kiri.
1/6 (k+1) [ (k+2)(2k+3) ] =1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ... * 2 =1+1,
1/6 (k+1) [ (k+1+1) (2(k+1)+1) ]= 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1). (Terbukti).
Note :
i) Pembuktian hanya boleh dilakukan pada salah satu ruas yang di 'acak acak' , Jangan mengacak ruas kanan dan ruas kiri.
ii) Bentuk Pembuktian lain ialah fungsi yang habis dibagi, untuk pembuktian ini sanggup di baca di : Soal Pembuktian Induksi Matematika habis Dibagi.
Sumber http://www.marthamatika.com/(k+1) [ 1/6 k (2k+1) + 6/6(k+1) ] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)... faktorkan 1/6 dikiri.
1/6 (k+1) [ k (2k+1) + 6(k+1) ] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ... selesaikan yang didalam kurung siku.
1/6 (k+1) [ 2k2+7k+6] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)... faktorkan yang di kiri.
1/6 (k+1) [ (k+2)(2k+3) ] =1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ... * 2 =1+1,
1/6 (k+1) [ (k+1+1) (2(k+1)+1) ]= 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1). (Terbukti).
Note :
i) Pembuktian hanya boleh dilakukan pada salah satu ruas yang di 'acak acak' , Jangan mengacak ruas kanan dan ruas kiri.
ii) Bentuk Pembuktian lain ialah fungsi yang habis dibagi, untuk pembuktian ini sanggup di baca di : Soal Pembuktian Induksi Matematika habis Dibagi.
